De gevreesde stelling van Pythagoras is voor veel studenten een doorn in het oog. Om precies te snappen wat deze stelling inhoudt, overlopen we wat een stelling precies is, hoe we tot de formule van Pythagoras komen, geven we gerichte uitleg en enkele voorbeelden. Met andere woorden: na het lezen van dit artikel weet jij alles van de stelling van Pythagoras, inclusief het toepassen!
Wat is een wiskundige stelling?
In de wiskunde wordt een stelling aangeduid als een bewering die bewezen waar is. Ofwel op basis van algemeen aanvaarde beweringen, ofwel op basis van andere vastgestelde stellingen.
Waarom heet het ‘de stelling van Pythagoras?’
Pythagoras was een Griekse man die ongeveer 2500 jaar geleden leefde. Ondanks dat niet veel bekend is over zijn leven, weten we wel dat hij een filosoof en wiskundige was. Ondanks dat de stelling al honderden jaren bekend was, schreef Pythagoras er als eerste over. Daarom noemt men deze stelling de stelling van Pythagoras. Een leuk feitje om te benoemen tijdens de wiskundeles 😉.
De stelling van Pythagoras: formule
Goed, nu weten we wat een stelling is en wie Pythagoras is. Op naar de vervolgstap; kijken wat de stelling precies inhoudt. Er zijn meerdere manieren om de stelling te gebruiken. De meest bekende is:
In een rechthoekige driehoek, met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c, geldt: a²+b²=c².
De stelling van Pythagoras is niet toepasbaar in elke driehoek. Alleen in een rechthoekige driehoek. Dat is een driehoek waarvan één hoek gelijk is aan 90°.
Voordat je de stelling toepast is het eerst zaak om te snappen welke zijden een rechthoekige driehoek heeft. De schuine zijde (C) herken je aan het feit dat deze de rechthoekige hoek niet raakt. A en B zijn de zijden die de rechthoekige hoek (van 90 graden) wel raken. Daarom worden A en B ook wel rechthoekszijden genoemd.
Let op! Elk wiskundeboek gebruikt andere notaties. Zo is het goed mogelijk dat jouw wiskundeboek bijvoorbeeld de schuine zijde a noemt en de rechthoekszijden b en c. Dan is de formule a²=b²+c². Je kunt altijd terugvallen op de definitie als je het even niet meer snapt:
“Kwadrateren we de twee lengtes van de rechthoekszijden en tellen die met elkaar op? Dan bekomen we het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.”
Het maakt dus niets uit welke namen je aan de zijden geeft. Zolang de schuine zijde maar aan de ene kant van de formule staat, en de rechte zijden aan de andere kant.
Speciale driehoek (3-4-5 verhouding)
Is alle uitleg over de stelling van Pythagoras een beetje verwarrend? Begrijpelijk. Daarom nemen we er een speciale driehoek bij om het wat logischer te maken. Deze driehoek met zijden 3, 4 en 5 is altijd een rechthoekige driehoek waarbij de schuinte zijde 5 is. Het maakt niets uit hoe je deze tekent, het is altijd rechthoekig. Probeer maar eens uit. Hoe je de lengtes uitdrukt maakt eveneens niets uit, zolang de verhouding maar 3-4-5 is.
Rechthoekszijde a
Laten we beginnen met zijde a gelijkstellen met 3. Zoals je weet kwadrateren we in deze stelling. Kwadrateren is het vermenigvuldigen met zichzelf (3*3=9). Het uitbeelden van kwadraten gebeurt in vierkantjes. Op onderstaande foto zie je dat het blauwe vierkant gelijk staat aan 3². Het is een representatie van a².
Rechthoekszijde b
Logischerwijs stellen we zijde b nu gelijk aan 4. Het kwadraat van 4 is 16. Vervolgens bekijken we dit geometrisch in vierkantjes. Dit vierkant bestaat uit 16 units. Het oranje vierkant is een representatie van b².
Schuine zijde c
Tot slot kijken we naar de schuine zijde 5, dat gelijk is aan c. Het kwadraat van 5 is 25. Het geometrische equivalent is een vierkant met zijdes van 5 units lang. Een oppervlakte van 25 units dus. Het roze gedeelte staat hier gelijk aan 5², dus c².
Laten we checken of de stelling van Pythagoras correct is in deze speciale 3-4-5-driehoek. We berekenden net het kwadraat van:
- a: 3²= 9
- b: 4²= 16
- c: 5²= 25
De stelling van Pythagoras is a²+b²=c². We vullen dus in: 3²+4²=5. Simpeler geformuleerd: 9+16=25. Dat klopt!
We bekeken het ook visueel door er vierkanten van te maken. Vervormen we de vierkanten? Dan zien we dat het vierkant van a en b samen even groot is als vierkant c.
Hoe bedenk je het?!
Hoe gebruik je de stelling van Pythagoras?
Nu je weet wat de stelling van Pythagoras inhoudt en wat de theorie en uitleg erachter is, wordt het tijd om de stelling toe te passen in voorbeelden. Daarvoor moet je eerst weten waarom de stelling zo belangrijk is. De stelling van Pythagoras is een middel voor het vinden van wat je niet weet met behulp van wat je wel weet. Wanneer je bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek hebt waarvan twee zijden bekend zijn, kun je met die gegevens uitrekenen hoe lang de derde zijde is.
Stel, we hebben een driehoek met rechthoekszijden 2 en 5. Uiteraard willen we weten hoe lang de schuine zijde is. Met de stelling van Pythagoras is dat geen probleem: a²+b²=c². We stellen de zijde 2 gelijk aan a en de zijde met lengte 5 gelijk aan b. We vullen dit in onze formule in en krijgen zo 2²+5²=c². We rekenen dit uit: 2²+5² = 4+25 = 29. Dus 29=c², of c²=29. Maar dan zijn we er nog niet, we willen weten hoe lang c is, niet c². We rekenen dit verder uit en krijgen als resultaat: c is gelijk aan √29. De schuine zijde heeft dus een lengte van √29.
Oefenen met het toepassen van de stelling van Pythagoras? Gebruik deze handige online tool om jezelf te controleren.
Voorbeeld van de stelling van Pythagoras
We bekijken een voorbeeld van de stelling van Pythagoras van dichterbij. Op bovenstaande foto zie je een zojuist opgestegen vliegtuig dat op een hoogte van 20m vliegt. We vragen ons af hoeveel meter het vliegtuig heeft afgelegd vanaf het moment dat het de grond verliet. Op de GPS zie je dat het vliegtuig, t.o.v. dat ene punt wanneer het de grond verliet, zich 30 meter meer in het noorden bevindt en 40 meter meer in het oosten.
Krijg je tijdens een tentamen een stuk tekst zoals hierboven? Begin direct te noteren wat je weet:
- Het vliegtuig bevindt zich op een hoogte van 20m.
- Het vliegtuig bevindt zich 30m meer in het noorden.
- Het vliegtuig bevindt zich 40m meer in het oosten.
Dit brengt ons nog steeds niet tot de oplossing, maar we kunnen het wel beter voor ons zien.
We geven alle punten een naam om het duidelijk te maken. We willen AB weten. We hebben dus AC en BC nodig. AC is 20m, dat weten we. We kennen BC niet. Hoe vinden we dan AB? Kijk eens goed naar driehoek BCD, want die is prima uit te rekenen!
- BD is 30m.
- CD is 40m.
- De stelling van Pythagoras in driehoek BCD zegt: BD²+CD²=BC²
We vullen de informatie in, in de formule:
We komen uit op 50m. BC is 50m.
Nu we BC kennen, hebben we genoeg informatie om AB te weten te komen.
- BC is 50m
- AC is 20m
- Pythagoras: BC²+AC²=AB²
We vullen opnieuw de formule in:
AB is √2900, of 10√29, of uitgerekend 53,85m. (Alle drie de notaties zijn hetzelfde en alle drie goed). Het vliegtuig heeft 53,85m afgelegd.
Hoppa! Nu kan je vrienden, docenten en je ouders verbluffen met je nieuwe wiskunde skills. Wil je meer wiskundige vaardigheden leren? Neem dan een kijkje op onze wiskundepagina!
Is de stelling van Pythagoras na het lezen van dit artikel nog steeds een raadsel voor je? Geen zorgen! Onze ervaren wiskundedocenten staan klaar om jou te helpen. Vraag vandaag nog bijles wiskunde aan en je zult verstelt staan van de resultaten die jullie samen boeken.
Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.
