De rij van Fibonacci (2/2): de gulden snede en de gulden spiraal

Bijleren: wiskunde 6 min read

In deel 1 van dit artikel ging het over de gulden snede en hoe een ogenschijnlijk simpele vraag over het voortplantingsgedrag van konijnen leidde naar de getallenreeks die we kennen als de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Elk opeenvolgend getal in deze rij is het resultaat van de optelsom van de twee getallen daarvoor. En, als we de ideale omstandigheden in acht houden, zoals de regel dat de konijnen niet doodgaan, zien we hoe deze reeks op een indrukwekkende wijze toont hoe de konijnenpopulatie groeit. We hebben gelezen over hoe de rij van Fibonacci veel verder gaat dan het tellen van konijnen en hoe je het op de meest onverwachte plekken kan tegenkomen. In dit deel van het artikel gaan we verder in op de gulden snede, ook wel de gouden ratio genoemd. We gaan het niet alleen hebben over de verschillende toepassingen ervan, maar wist je ook dat de Fibonaccireeks ook nog een andere oorsprong heeft? Lees er hieronder meer over.

De gulden rechthoek

Waarom vinden we sommige mensen mooier dan anderen? Misschien vind je dit een rare vraag, maar hij is eigenlijk helemaal niet zo vreemd. Er bestaat namelijk bewijs dat we sommige vormen en verhoudingen aantrekkelijker vinden dan andere. Laten we het eenvoudig houden en dit proberen uit te leggen door middel van rechthoeken. Er is een specifieke soort rechthoek met een bepaalde verhouding die ons telkens het meest fascineert. Ook dit wisten de Grieken allang vóór de hedendaagse psychologie dit ging testen. Oók dit wisten de Grieken allang voordat de psychologen van nu het gingen testen. Daarvoor gebruikten ze de gulden rechthoek: rechthoeken met de mooiste hoogte-breedte verhouding.

Pak pen, papier en een liniaal. Teken een rechthoek die volgens jou het mooiste is. Meet dan de lengte van elke zijde en deel tenslotte de langste lengte door de kortste lengte. Wat is de uitkomst? Een getal van ongeveer 1.6? Het zal niet precies 1,6 wezen, maar het zal ongetwijfeld ongeveer in de buurt komen. Behalve dat deze rechthoek voor velen ‘mooi’ is, heeft de gulden rechthoek een ander fascinerend kenmerk: teken een lijn in de gulden rechthoek om hem te verdelen in een vierkant en een nog kleinere rechthoek. Je zult zien dat deze kleinere rechthoek ook een gulden rechthoek is! Je kunt dit oneindig lang herhalen en zo steeds kleinere rechthoeken maken. En bij elke gulden rechthoek zul je zien dat het dezelfde verhouding heeft: de gulden snede, door de Grieken ook wel phi genoemd, met een grootte van 1.618.

gulden spiraal

Om terug te komen op onze eerste vraag: waarom vinden we volgens de gulden snede sommige mensen mooier dan anderen? Sommige gezichten voegen zich meer naar de gulden snede verhouding dan andere. Zo zijn Beyonce, Amber Heard en Bella Hadid bijvoorbeeld beroemdheden waarin we de gulden snede kunnen terugvinden in het gezicht. Dat gezegd hebbende, laten we voorop stellen dat iedereen mooi is op zijn of haar eigen manier en dat het natuurlijk niet uitmaakt of een gezicht zich nu wel of niet verhoudt tot de gulden snede. Mocht je voor de lol toch willen berekenen hoe iemands gezicht zich naar de gulden snede voegt, kun je dat met deze online rekenmachine doen.

gulden snede

De Gulden Snede

formule gulden snede

Maar wat is deze gulden snede nu precies? Welnu, het is een getal dat ongeveer gelijk is aan 1.618. De Grieken noemden het “phi” en zo noemen wij het nu ook. Daarom schrijf je het ook met het Griekse symbool voor de letter phi uit het Griekse alfabet. Phi is een irrationeel getal, dit betekent dat phi, net zoals zijn bekende broertje pi, een oneindig aantal decimale cijfers heeft waarin geen enkel patroon te herkennen is.

De gulden snede en Fibonacci

In deel 1 van dit artikel kwam phi ook al voorbij in de rij van Fibonacci. Deel je een getal uit de getallenreeks door het getal wat daarvoor komt, komen bij een getal uit dat dicht in de buurt komt van phi. We nemen de reeks er even bij en visualiseren het door de cijfers te verwerken in de gulden rechthoek.

gulden snede fibonacci

In de wiskunde is alles verbonden met elkaar, ben je verrast dat het dezelfde rechthoek is die we hierboven hebben getekend?

De gulden spiraal

Als je een gulden rechthoek tekent, kun je vervolgens een boog diagonaal trekken van de ene hoek van elk nieuw gevormd vierkant naar de andere hoek. Zo creëer je een mooi Fibonaccispiraal. Dat is een spiraal die je, net als de Fibonaccigetallen, ook overal in de natuur tegenkomt.

gulden spiraal

Ben je nog steeds niet onder de indruk van dit alles? Maak je borst maar nat en kijk mee naar de volgende voorbeelden.

De gulden snede in de natuur

Dieren

Wist je dat walvissen prachtige Fibonaccispiralen maken wanneer ze vissen proberen te vangen? Kijk maar naar deze video van BBC!

Parthenon

De gulden snede geeft ook een idee van balans weer, daarom wordt de gouden ratio ook in de architectuur gebruikt. Kijk bijvoorbeeld naar het Parthenon in het Griekse Athene. Het is ongeveer 2500 jaar oud. Het Parthenon was gewijd aan de godin Athena. Het is gebouwd door drie architecten genaamd, Iktinus, Callicratus en Phidias. Phi, het symbool voor de gulden snede, is naar deze laatste kunstenaar en architect genoemd. De gulden snede komt meerdere malen in het ontwerp van het Parthenon voor.

parthenon fibonacci

De gulden snede komt ook terug in de piramides van Gizeh op een wel hele fascinerende wijze, kijk maar op de foto hieronder:

piramide gulden spiraal

Jouw lichaam

De gulden snede is ook te vinden in je eigen lichaam! Laten we dat testen met iets simpels. Pak een meetlint en strek je arm uit. Meet nu de lengte van je hand en dan de lengte van je voorarm. Vervolgens deel je de lengte van je voorarm door de lengte van je hand. Als het goed is, is de uitkomst ongeveer 1.618, klopt dat? Ook met je navel kun je je lichaam delen in tweeën met en de gulden snede berekenen met een ratio van 1:1.618. Geweldig, toch?! Deze ratio is ook terug te vinden in het gezicht, je wijsvinger, je voeten, en nog veel meer. Uiteraard heeft iedereen een iets andere lichaamsbouw, dus hou er rekening mee dat de verhoudingen niet altijd precies kloppen.

lichaam gulden spiraal

Hoe groot is de aarde en hoe groot is de maan? Ook hier kom je ook de gouden snede verhouding tegen. De verhouding tussen de grootte van de aarde en die van de maan is namelijk ook een phi-verhouding: het wordt gevormd door een driehoek op basis van phi, 1.618. Op het plaatje hieronder zie je hoe de straal van de aarde en de maan de gulden driehoek vormt, ook wel bekend als de driehoek van Kepler.

gulden spiraal ruimte

Nog meer voorbeelden

Overal wordt de gulden snede toegepast, in architectuur, in kunst, in de fotografie, maar ook in een PlayStation controller! De gulden snede verhouding geeft het beste van schoonheid en harmonie weer. In ons streven naar perfectie zal onze esthetische voorkeur altijd terugkomen bij de gulden snede.

Heb je moeite met wiskunde en loop je regelmatig vast op de leerstof en de opdrachten? Of misschien zoek je hulp bij een toets of examen? Bijleshuis heeft een heleboel ervaren en gediplomeerde docenten wiskunde die staan te popelen om je bijles wiskunde te geven. Vraag snel naar een docent bij jou in de buurt!

Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.

wiskunde fibonacci gulden snede
Updates ontvangen met didactische inzichten?
Sign up for our newsletter