Het kan lastig lijken om breuken te berekenen, maar het is gelukkig veel makkelijker dan je misschien zou denken! In deze blog leer je rekenen met breuken; we leggen je uit hoe je breuken optelt, aftrekt, vermenigvuldigt en deelt.
Breuken vermenigvuldigen
Misschien vraag je je af waarom we beginnen met breuken te vermenigvuldigen? Simpel: het is ONTZETTEND makkelijk! Makkelijker dan breuken optellen en aftrekken. Maar hoe komt dat dan? Ook simpel: breuken zijn delingen.
Vermenigvuldigen en delen passen veel beter bij elkaar dan optellen en delen. In de breuk hieronder hebben we een deling en een vermenigvuldiging samen:
De voorrangsregel, ken je die nog?
Die voorrangsregel leert ons dat we voorrang geven aan vermenigvuldigen en delen, en daarna pas gaan optellen en aftrekken. In welke volgorde je gaat vermenigvuldigen en delen maakt verder niet uit, het resultaat blijft onveranderd. Of je nu eerst deelt door de noemer, of vermenigvuldigt met de andere teller, je zult steeds dezelfde uitkomst krijgen. Dit is waarom we de tellers met elkaar kunnen vermenigvuldigen en de noemers met elkaar kunnen vermenigvuldigen. De uitkomst blijft hetzelfde.
Nu we dit weten, kunnen we een vermenigvuldiging van twee breuken schrijven:
Zo simpel is het! Als je een breuk wil vermenigvuldigen dan vermenigvuldig je de tellers (de bovenste cijfers/getallen) met elkaar en vermenigvuldig je de noemers (de onderste cijfers/getallen) met elkaar.
Breuken optellen en aftrekken
Bij het optellen en aftrekken van breuken werkt het helaas anders dan bij het vermenigvuldigen van breuken.
Wanneer je twee pizzahelften hebt, dan heb je één hele pizza. Twee helften samen vormen geen andere helft.
Dus wat doen we fout? Welnu, zoals je hierboven kan zien, hebben we geen rekening gehouden met de voorrangsregels. Volgens de voorrangsregels zullen we eerst moeten vermenigvuldigen en delen voordat we kunnen optellen en aftrekken. Omdat breuken eigenlijk delingen zijn, overtreed je dus de voorrangsregels door ze eerst op te tellen.
Als je wiskunde leert is het altijd goed om het minder abstract te maken, bijvoorbeeld door te denken aan een pizza. Wil je nog meer tips weten over wiskunde studeren? Lees dan ons artikel ‘Hoe kan ik het beste studeren voor wiskunde?’.
Breuken met dezelfde noemer optellen en aftrekken
Breuken optellen
Gelukkig is er één uitzondering waarbij je wél de tellers eerst kan optellen zonder de regels te overtreden. Breuken met dezelfde noemer (ook wel: gelijknamige breuken) kun je optellen door de tellers op te tellen en de noemer te behouden.
Als je bijvoorbeeld ¼ optelt met ¾, dan kunnen we de tellers optellen (1+3=4) en de noemer (=4) behouden. Je zal zien dat dit gelijk is aan 1.
Als je een kwart van de pizza margherita en drie kwart van de pizza Hawaï hebt gegeten, dan heb je in totaal een volledige pizza gegeten.
Hier volgt nog een extra voorbeeld. Hoeveel is 7/3 + 1/3?
Eerst reken je de teller uit: 7 + 1 = 8. Daarna nemen we de noemer: deze blijft onveranderd, dus 3. De uitkomst is 8/3.
Breuken aftrekken
Dezelfde regel geldt voor breuken aftrekken: we trekken de tellers van elkaar af en behouden de noemer. Hoeveel is 6/5 - 4/5 dan?
Breuken met een verschillende noemer optellen en aftrekken
Breuken optellen
Hoe tel je dan breuken met verschillende noemers (ongelijkwaardige breuken) op? De enige manier om dat te doen is door ze gelijknamig te maken.
Hoe maak je breuken gelijknamig?
Een breuk gebruik je normaliter in de kleinste vorm. Echter, er bestaat een oneindig aantal vormen voor elke breuk. Kijk maar naar ½. Dit is altijd de helft, ook wel 0,5. Maar je kunt 1/2 ook opschrijven als 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, enz. Omdat een breuk een deling is, zal het resultaat elke keer hetzelfde zijn. En zoals je kunt zien is de noemer telkens een veelvoud van 2.
We willen bijvoorbeeld 2/3 en 1/4 bij elkaar optellen. Dan moeten we ze eerst gelijknamig maken. Hieronder zie je welke vormen ze kunnen aannemen:
Zoals je kan zien, zit er in allebei de rijen een breuk met de noemer 12. Omdat 2/3 hetzelfde is als 8/12, en 1/4 hetzelfde is als 3/12, kunnen we deze vormen gebruiken in onze rekensom:
De noemer 12 hebben we gevonden door allebei de breuken gelijknamig te maken. Gelukkig bestaat er ook een snellere manier: het vermenigvuldigen van de noemers. Eerst hadden we de breuken 2/3 en 1/4. De noemers hiervan zijn 3 en 4. Als we dan 3 en 4 met elkaar vermenigvuldigen, krijgen we de uitkomst 12 als noemer.
Maar hoe berekenen we dan de teller?
We nemen eerst de breuk 2/3. Omdat we de noemer 3 vermenigvuldigen met de noemer 4, vermenigvuldigen we de teller ook met 4. Want anders klopt de breuk niet meer!
We doen hetzelfde met de breuk 1/4. De noemer vermenigvuldigen we met 3, daarom moeten we ook de teller met 3 vermenigvuldigen.
We moeten dus zowel de teller als de noemer van elke breuk, met de noemer van de andere breuk vermenigvuldigen.
In andere woorden, als je twee ongelijknamige breuken met elkaar wil vermenigvuldigen moet je de volgende formule gebruiken:
Breuken aftrekken
Deze regel geldt ook voor het aftrekken. Eerst maak je de breuken gelijknamig op dezelfde manier als hierboven beschreven. Echter, nu tellen we ze niet op, maar trekken we de breuken van elkaar af.
Breuken delen
Tot slot is er het delen. Net als vermenigvuldigen, is dit gelukkig niet moeilijk. Voordat we beginnen, echter, moeten we wel eerst weten wat een omgekeerde breuk is. Dit is, zoals het woord al aangeeft, het omgekeerde van een breuk. :-)
Met omgekeerde breuken doe je eigenlijk een klein trucje, op deze manier wordt breuken delen makkelijker. Zoals we al eerder hebben gezegd, is een breuk eigenlijk een deling.
Als je 3 vermenigvuldigt met 1/2, dan is dat eigenlijk hetzelfde als 3 delen door 2. En als je iets deelt door 2, kun je het ook opschrijven als 2/1. Dit wordt nooit opgeschreven, omdat het 2 is. En zie daar! Allebei zijn het omgekeerde breuken van elkaar.
Als je iets deelt door een breuk, vermenigvuldig je dus met het omgekeerde van die breuk. Zo krijg je het correcte antwoord.
Eerlijk gezegd delen we nooit met breuken. We herschrijven het zodat je het makkelijk kan vermenigvuldigen. Zoals je hierboven kan zien, is dat dus eigenlijk heel makkelijk! Hetzelfde kan je ook probleemloos doen wanneer je een breuk deelt door een breuk.
Pas op! Een veel voorkomende fout is dat leerlingen vaak beide breuken gelijknamig maken. ALLEEN de breuk waarmee je deelt, moet je veranderen naar de omgekeerde breuk.
Zo, nu kun je goochelen en rekenen met breuken! Heb je moeite met andere aspecten van wiskunde? BijlesHuis heeft een grote keuze aan ervaren en gediplomeerde docenten wiskunde die je 1-op-1 wiskunde bijles kunnen geven. Je kunt geheel vrijblijvend vragen naar informatie!
Wil je op de hoogte gehouden worden over nieuwe artikels met wiskunde-onderwerpen op een leuke manier gebracht? Schrijf je dan in op onze blog-nieuwsbrief. Je ontvangt verder geen reclame!
