De rij van Fibonnacci (1/2): de beginselen

Bijleren: wiskunde 6 min read

Soms is wiskunde puur functioneel. Een andere keer is het interessant. Maar zo nu en dan is wiskunde niets minder dan verbazingwekkend! Ben je het hier niet mee eens? Na het lezen van dit artikel ben je misschien van gedachten veranderd. De rij van Fibonacci (ook wel ‘reeks van Fibonacci’ genoemd) vind je namelijk in de meest wonderlijke wijzen overal in de wereld om je heen.

Leonardo Fibonacci

We beginnen in het jaar 1202, het jaar waarin de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci het boek Liber Abaci schrijft. De uit Pisa afkomstige man was een fervent reiziger, en net zoals hij, reisde zijn boek door de wereld van toen en werd het één van de belangrijkste boeken in de geschiedenis van de wiskunde. Mede dankzij Fibonacci gebruiken we nu overal het getallensysteem 0 tot en met 9 in plaats van Romeinse cijfers. Stel je eens voor om Romeinse cijfers te moeten gebruiken voor wiskunde!

liber abacci fibonacci
liber abaci fibonacci

Het boek Liber Abaci (ook wel ‘Boek van het telraam’ genoemd) staat boordevol met wiskundige vraagstukken en theorieën. Eén vraagstuk in het bijzonder is daarbij veel belangrijker dan iemand van tevoren had durven dromen: “Hoeveel konijnen zullen er in ideale omstandigheden na één jaar zijn?”

Fibonacci’s ideale omstandigheden bestonden uit de volgende regels:

  • Wanneer konijnen zich voortplanten, maken ze telkens twee jongen: een jongen en een meisje
  • Eén keer per maand planten ze zich voort
  • Wanneer ze één maand oud zijn, planten ze zich voort
  • De konijnen gaan niet dood

De konijnenrij van Fibonacci

Stel je voor dat je in januari twee pasgeboren konijntjes krijgt van je ouders. Zoals je misschien al weet, krijgen konijnen heel snel en heel vaak baby-konijntjes. Hoeveel konijnen zouden we dan na een jaar hebben?

fibonacci

De regel van Fibonacci stelt dat het een maand duurt totdat de konijntjes volwassen zijn. Dat betekent dus dat onze twee pasgeboren konijntjes in februari al volwassen zijn.

fibonacci

In maart krijgt het vrouwtje zelf twee kindjes: een jongen en een meisje. Nu hebben we dus twee paar konijnen.

fibonacci

Een maand later, in april, planten de eerste konijnen zich nog een keer voort. De twee pasgeboren konijntjes van maart zijn nu ook volwassen.

fibonacci

In mei hebben we nu twee volwassen paartjes konijnen die zich weer voortplanten. Ook zijn de pasgeboren kindjes van de afgelopen maand nu volgroeid. Er zijn dus vijf konijnenpaartjes.

In juni zijn er drie volwassen konijnenpaartjes die zich ook weer voortplanten dus komen er drie pasgeboren konijnenpaartjes bij. Daarnaast is het kroost van de vorige maand ook volwassen. Bij elkaar opgeteld hebben we nu dus 8 konijnenpaartjes.

Het moge duidelijk zijn dat de konijntjes geen moeite hebben om kindjes te maken. Elke maand groeit het aantal konijntjes! Als we dit doorrekenen tot en met december, dan zitten we op 144 konijnenpaartjes! Dat zijn dus 288 konijnen in totaal. Weet waar je aan begint als je de Kerstman vraagt om konijntjes!

Western Canadian Lotteries - https://www.youtube.com/watch?v=vLnTgCFt2lk

De getallen van Fibonacci

We kunnen deze getallen in de volgende tabel plaatsen. Opgelet: de getallen gaan om paren van konijnen. De bovenste rij zijn de maanden van het jaar. Zo zie je dat we in januari alleen 1 paar pasgeboren konijntjes hebben. In februari hebben we 1 paar volwassen konijnen. In maart hebben we 2 paren: een volwassen konijnenpaar en een pasgeboren paartje. Enzovoort.

tabel fibonacci

In de onderste rij zien we een reeks getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en 144. Kijk eens goed, zie je een patroon? Elk volgend getal in de rij is de optelsom van de twee voorgaande getallen. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, et cetera. Daarom kunnen we de rij van Fibonaci de volgende formule geven:

formule fibonacci

Omdat elk volgend Fibonacci-getal de optelsom is van de twee eerdere getallen daarvoor, hebben we om de reeks te beginnen, het eerste getal F1 en het tweede getal F2 nodig. In de konijnenrij van Fibonacci starten we met 1 pasgeboren paar konijntjes, dus F1=1. Na een maand wachten om volwassen te worden hebben we nog steeds 1 paar, nu volgroeid, dus F2=1.

Het is een oneindige reeks, de eerste Fibonacci-getallen in de tabel zijn hieronder te lezen:

Deze rij van Fibonacci is één van de bekendste getallenreeksen in de wiskunde.

De natuur en Fibonacci

Zo, we hebben nu een rij getallen. Wat maakt het nou zo verbazingwekkend dat het zelfs in de Da Vinci Code voorkwam? Het zit zo: deze getallenreeks kom je niet alleen in wiskundelokalen en konijnenraadsels tegen, maar ook vooral in planten. Snij maar eens een banaan in tweeën en je zult 3 delen zien. Een appel heeft 5 pitten. Of kijk naar de spiralen van een dennenappel, je zult ze tegenkomen in zowel horizontale, verticale als diagonale richting, of anders gezegd, in rijen van 5, 8, 13 of 21 rijen. Overal in de natuur komen de Fibonaccigetallen terug: zonnebloemzaden, broccoli, ananassen, noem maar op.

ananas fibonacci

Misschien heb je thuis zelf een ananas in de fruitschaal? Kijk er maar eens goed naar. Een ananas bestaat uit allemaal hexagonen, ofwel zeshoeken. Nummer elke hexagoon als volgt: de allerlaagste krijgt het getal 0, de hexagoon daarboven krijgt een 1, et cetera. Hou in je achterhoofd dat de ananas ook een achterkant heeft die je niet op de afbeelding kan zien. Net als bij de dennenappel, zie je op de ananas drie spiralen: een horizontale, een verticale en een diagonale spiraal. De laagste horizontale spiraal bestaat uit de hexagonen 0, 5, 10, 15 enzovoort. De laagste diagonale heeft de zeshoeken 0, 8, 16, 24, et cetera. De verticale bevat de hexagonen 0, 13, 26, 39 enzovoort. Als je kijkt naar het verschil tussen de hexagoonnummers per spiraal dan krijg je 5, 8 en 13. Zo blijft de Fibonaccireeks steeds terugkomen.

bloemen

Een ander simpel voorbeeld waarmee je de rij van Fibonacci in de natuur terug kan vinden, is de aantallen bloembladen van bloemen. De meeste bloemen hebben er 3 zoals bijvoorbeeld lelies en irissen. Andere hebben er 5 (boterbloemen en rozenbottels), 8 (riddersporen), 13 (sommige, maar niet alle madeliefjes), 21 (cichorei), 34, 55 of 89 (ook sommige madeliefjes).

De gulden snede

rij fibonacci

Maar er is nog meer dat speciaal is aan deze rij van Fibonacci! In plaats van de getallen op te tellen, gaan we ze nu door elkaar delen. Zal het quotiënt iets speciaals laten zien? Kijk mee:

We beginnen bij de basis: 1 gedeeld door 1 is 1. Daarna delen we 2 door 1 en krijgen we 2. 3 gedeeld door 2 maakt 1,5. Deze drie deelsommetjes zijn simpel en zegt ons op dit moment nog niets. Maar wat gebeurt er als we verder kijken?

Als je 5 deelt door 3 krijg je 1,6666666…. Kijk, nu wordt het interessant...

quotënten fibonacci

Zie je ook dat deze uitkomsten allemaal wel heel dicht op elkaar liggen?

quotiënten fibonacci

Zie daar, vanaf 55 gedeeld door 34 zien we steeds dezelfde uitkomst terugkomen: 1,618. Leuk weetje: de Grieken hadden dit getal al duizenden jaren geleden ontdekt en noemden het getal phi. Maar tegenwoordig kennen we het getal beter onder de naam de gulden snede. En, misschien voel je het al aankomen: ook dit getal vind je overal in de natuur terug!

Dus, is het inderdaad niet verbazingwekkend? Wil je meer weten over de gulden snede? Lees dan deel 2 van dit artikel. Daarin zullen we verder praten over de gulden snede, de spiraal en hoe je deze dingen kan terugvinden in piramides, de ruimte, Afrika en zelfs in Donald Trump!

Heb je moeite met wiskunde en loop je regelmatig vast op de leerstof en de opdrachten? Of misschien zoek je hulp bij een toets of examen? Bijleshuis heeft een heleboel ervaren en gediplomeerde docenten wiskunde die staan te popelen om je bijles wiskunde te geven. Vraag snel naar een docent bij jou in de buurt!

Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.

fibonacci wiskunde
Updates ontvangen met didactische inzichten?
Sign up for our newsletter