Vergelijkingen oplossen aan de hand van de balansmethode

Bijleren: wiskunde, Frans,... 5 min read

In je wiskundeboek ben je vast 'vergelijkingen' tegengekomen. Twee cijfers, of een heel rijtje cijfers en moeilijkheden met een '=' ertussen. Wat moet je daar nu mee? Nouchka van BijlesHuis legt je in deze blog precies uit hoe je vergelijkingen oplost met behulp van de balansmethode.

https://www.youtube.com/watch?v=6RiR9QmX1_Y

De vergelijking

Het woord 'vergelijken' gebruik je regelmatig. Je zegt bijvoorbeeld: 'Vergeleken met mijn broertje ben ik lang, maar vergeleken met mijn vader moet ik nog een stuk groeien'. Bij vergelijken heb je het over verschillen en overeenkomsten. Wanneer je 'vergelijken' in je eigen taalgebruik gebruikt, gaat het vaak over een mening. Bijvoorbeeld: Je vindt de snoepjes van de Kruidvat lekkerder vergeleken met de snoepjes van de Albert Heijn. Dat soort vergelijkingen zijn niet objectief. De buurjongen vindt het misschien precies andersom. Bij wiskunde is een vergelijking altijd objectief, het gaat nooit om een mening. Een vergelijking in de wiskunde moet altijd volledig juist en objectief zijn.

Er zijn verschillende soorten vergelijkingen:

  • 2 = 2
    De cijfers aan de linkerkant zijn hetzelfde als de cijfers aan de rechterkant. Je ziet dan in één oogopslag dat de vergelijking klopt.
  • 1 + 1 + 1 = 3 of 2*4 = 8
    Dit is een vergelijking met een berekening. Als je de berekening uitrekent, kom je er achter dat beide kanten van de vergelijking op hetzelfde getal uitkomen.
  • x = 3
    Dit is een vergelijking met een onbekende. De onbekende, 'x', is gelijk aan 3.
  • 4x = 12
    Dit is een vergelijking met een berekening én een onbekende. Bij zo'n vergelijking kun je uitrekenen wat 'x' is. Verderop in dit artikel leer je hoe je dat doet.

Nu weet je welke soorten vergelijkingen er bestaan. In elke vergelijking staat in het midden een '='. Dat is een gelijkheidsteken. Het betekent dat de ene kant gelijk is aan de andere kant. In een vergelijking kan het gelijkheidsteken tussen cijfers, onbekenden en/of berekeningen staan. Je gebruikt de balansmethode om een vergelijking op te lossen.

Hoe werkt de balansmethode?

We nemen een weegschaal als voorbeeld. Stel, je wilt de weegschaal in evenwicht brengen. Er moet dan aan beide kanten precies evenveel op de schalen liggen. Beide kanten zijn dan gelijk. In de weegschaal hieronder zie je aan de ene kant de Jonas Brothers, en aan de andere kant Justin Bieber. De weegschaal hangt scheef, dat zie je gelijk. 3 mannen wegen natuurlijk meer dan één man.

vergelijkingen

Om de schalen gelijk te krijgen, moet je iets veranderen. Misschien één van de Jonas Brothers er af? En dan Shawn Mendes bij Justin Bieber? Waarschijnlijk is het dan nog steeds niet helemaal gelijk. Elk detail, zoals bijvoorbeeld een rugzak op de rug, verandert het gewicht. De beste oplossing is Justin Bieber op de ene schaal en een exacte kloon op de andere schaal.

Die exactheid geldt ook voor de wiskunde, de regel met vergelijkingen is: als je iets aan de ene kant van de vergelijking verandert, moet je dat ook doen aan de andere kant.

Denk nog even terug aan de vergelijking 2 = 2. Als je aan de ene kant '+1' doet, moet je dit ook aan de andere kant doen. Anders krijg je 3 = 2, en dat klopt natuurlijk niet. Je kunt optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Zolang je het maar aan beide kanten doet.

balansmethode vergelijkingen oplossen

Bij de vergelijking hierboven vermenigvuldig je de ene kant met 2. Dan doe je dat dus ook aan de andere kant. Zo is de vergelijking weer netjes in evenwicht.

balansmethode vergelijkingen oplossen

Hartstikke leuk, maar hoe kun je hier nu een vergelijking mee oplossen?

Vergelijkingen oplossen

Nu je dankzij Justin Bieber, de Jonas Brothers en Shawn Mendes weet hoe je een vergelijking kunt aanpassen, kunnen we ze nu gaan oplossen. Je lost een vergelijking op om te achterhalen wat de onbekende 'x' is.

Voorbeeld 1

Voor dit voorbeeld gebruiken we de vergelijking 4x=12. Je weet nu niet wat de onbekende 'x' is. 4x is gelijk aan 12... Wat zal de x zijn? Om dat te weten te komen, moeten we de 4 weg krijgen.

balansmethode vergelijkingen oplossen

Hiervoor gebruik je de balansmethode. Je gaat van 4x naar x. Dat doe je door te delen, kijk maar naar de afbeelding hieronder.

Als je aan de ene kant deelt door 4, moet je dat ook doen aan de andere kant. Weet je nog, wat je aan de ene kant doet, moet je ook altijd aan de andere kant doen.

balansmethode vergelijkingen oplossen

De 4 is weggewerkt, en daarmee is de vergelijking opgelost. Nu beide kanten door 4 gedeeld zijn, krijg je namelijk x=3. Beide kanten zijn altijd gelijk, dus nu weet je dat 'x' staat voor '3'.

Voorbeeld 2

Dit voorbeeld ziet er een stuk moeilijker uit, maar je lost hem op met dezelfde balansmethode. De vergelijking is 3x*2-3=9. En wederom de vraag: Wat is x?

Je start met het oplossen van de vergelijking door de berekening op te lossen. Maar, wat je aan de ene kant doet.... Eerst werk je de '-3' weg. Dat doe je door '+3' te doen, want 3x*2 -3 +3 = 3x*2.

Bij de linkerkant doe je +3, dus dat doe je ook bij de rechterkant...

balansmethode vergelijkingen oplossen

Vervolgens werk je de '*2' weg, door te delen door 2. Ook aan beide kanten, je krijgt dan:

balansmethode vergelijkingen oplossen

Nu is alleen de '3x' nog over, we moeten alleen de 3 nog wegwerken. Dat doe je door te delen door 3, aan beide kanten.

balansmethode vergelijkingen oplossen

Nu is de vergelijking opgelost! Je krijgt x=2 als resultaat voor de vergelijking 3x*2-3=9.

Wil je dit soort vergelijkingen oefenen? Via deze link vind je opgavenbladen met daarachter de antwoorden. Niet spieken he!

Samengevat: zo werkt de balansmethode

Wil je een vergelijking oplossen? Zorg dan dat je eerst alle berekeningen weg krijgt. Dat doe je door het omgekeerde aan de andere kant van de vergelijking te doen. Staat er aan de ene kant -5, dan doe je aan beide kanten +5. Zo heb je de '-5' weggewerkt, en blijft de vergelijking in evenwicht. Want: wat je aan de ene kant doet, moet je ook aan de andere kant doen.

Nouchka van BijlesHuis houdt van cijfers en berekeningen. In deze wiskundereeks helpt ze jou om wiskunde beter te begrijpen. Heb je toch nog een vraag? Stuur dan even een mailtje naar nouchka@bijleshuis.nl en ze helpt je graag verder. Kun je wel wat hulp gebruiken met wiskunde? Neem dan eens een kijkje voor bijles bij BijlesHuis.