Goniometrische verhoudingen met sinus, cosinus en tangens

Bijleren: wiskunde, Frans,... 3 min read

Een driehoek heeft verschillende hoeken en zijden. Die hoeken en zijden kun je uitrekenen met behulp van goniometrische verhoudingen. Een moeilijk woord, maar het helpt al als je weet dat 'gonio' gewoon 'hoek' betekent.

Sinus, cosinus en tangens?

Nederland is een plat land, maar op vakantie in het buitenland rijd je regelmatig door de bergen. Als de weg omhoog gaat, zie je een bordje met de hellingsgraad. In dit voorbeeld is dat:'28%'. Dat geldt voor de hele route omhoog. 2 kilometer verder sta je op de top van de berg. Wat een uitzicht! Jammer dat je niet weet hoe hoog je eigenlijk staat...

Moutain View

Let op, want de komende vakantie kun je met de sinus, cosinus en tangens uitrekenen hoe hoog de berg is.

Een rechthoekige driehoek

Deze blog gaat over de goniometrie van de sinus, cosinus en tangens. Deze goniometrie kun je alleen gebruiken bij rechthoekige driehoeken. Eerst kijken we eens goed naar zo'n driehoek:

goniometrie

Elke rechthoekige driehoek heeft één schuine zijde. Dit is de langste zijde. De andere twee zijden zijn recht; daardoor vormen de drie lijnen een rechthoekige driehoek. Hoek a wordt gevormd door de schuine zijde en de aanliggende rechthoekszijde. De lijn tegenover hoek a heet de overstaande rechthoekszijde.

Een rechthoekige driehoek heb je in verschillende vormen: groot en klein. Voor de hoeken maakt dit niet uit. Die zijn altijd hetzelfde.

Deel je bij allebei de driehoeken de schuine zijde door de overstaande rechthoekige zijde, dan krijg je het volgende:

Je krijgt hetzelfde resultaat! Als je de hoeken weet, staan de verhoudingen van de zijden vast. Hoe lang of kort die zijden ook zijn.

Elke driehoek heeft drie zijden. Logisch, want dat maakt een driehoek een driehoek. Elke zijde heeft invloed op de driehoek. Er zijn dus drie mogelijke verhoudingen van de lengten van de zijden van de driehoek. En raad eens... die drie mogelijke verhoudingen zijn de sinus, cosinus en de tangens.

goniometrie

Goniometrische verhoudingen

Hier zie je de rekensom die hoort bij de sinus, cosinus en tangens.

goniometrie

Als je de rekensommetjes toepast op een rechthoekige driehoek, krijg je dit resultaat voor hoek a.

 goniometrie

Sinus toepassen

Je ziet dat je een sinus, cosinus of tangens altijd van een hoek neemt.

Van hoek a is de sinus 53°. Dat schrijf je zo op: sin(A) = sin (53°). Vervolgens kun je die som met je grafische rekenmachine berekenen. Afgerond krijg je 0,8.

De sinus is de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde. In dit voorbeeld is dat 4/5 = 0,8. Hetzelfde als je net uitgerekend hebt met je rekenmachine.

Wat is een sinus, cosinus of tangens?

De sinus, cosinus en tangens zijn goniometrische verhoudingen van een rechthoekige driehoek. Het legt verbanden tussen de hoeken en de zijden van een rechthoekige driehoek. Mis je één van de gegevens van een driehoek? Dan kun je die snel uitrekenen door middel van de sinus, cosinus of tangens.

Het enige wat je hoeft te doen, is de verhoudingen uit je hoofd leren:

goniometrie

Gelukkig is er een ezelsbruggetje voor: SOS CASTOA.

Sin = Overstaande / Schuine (S.O.S.)
Cos = Aanliggende / Schuine (C.A.S.)
Tan = Overstaande / Aanliggende (T.O.A.)

Terug naar de berg

Weet je het voorbeeld nog, van het uitzicht op de berg? Nu kun je zelf uitrekenen hoe hoog de top van de berg is. Je weet namelijk dat de hellingsgraad 28° was, en dat de weg 2 kilometer lang was.

De sinus, cosinus en tangens werken alleen als het over een rechthoekige driehoek gaat. Daarom tekenen we de berg vereenvoudigd. Je vindt de bekende gegevens in de driehoek:

Nu kun je uitrekenen hoe hoog de berg is. Hoek a weten we: 28°. Nu kun je met je grafische rekenmachine de sinus, cosinus of tangens uitrekenen. Maar welke moet je nu gebruiken? De schuine zijde (S) is bekend (2000 m). Je wilt de overstaande rechthoekszijde (O) weten. Dus we hebben de sinus nodig (S.O.S.).

Sin(A) = overstaande rechthoekszijde / schuine zijde
Sin(28°) = x / 2000m
x = sin(28°) * 2000m
x = 0,4695 * 2000m
x = 939m

Nu weet je dat de berg 939 meter hoog is. Dat zal inderdaad een mooi uitzicht geven! Zie jij de camping al?

Deze goniometrische verhoudingen worden veel gebruikt in de architectuur. Naast deze verhoudingen voor de rechthoekige driehoek, heb je ook een goniometrische cirkel! Maar dat bespreken we in een andere blog.

Nouchka van Bijleshuis houdt van wiskunde. In deze blogreeks legt ze de belangrijkste wiskundige begrippen voor je uit. Heb je nog een vraag? Stuur dan even een mailtje naar nouchka@bijleshuis.nl, ze helpt je graag verder. Zoek je een bijlesdocent voor wiskunde? Kijk dan eens rond bij Bijleshuis.

wiskunde wiskunde beter begrijpen bijles sinus cosinus tangens driehoeken goniometrie